l=1,m=-1,+1
球面調和関数Y[lm]のl,mは,量子力学の軌道角運動量と磁気量子数です.
ここでは,小さいlに対するグラフを幾つか表示してみます.やり方は,前項
と同様,媒介変数を用いてx,y,zを表す方法です.
mが奇数の場合は球面調和関数はexp(-imφ)の項の為に虚部を持ちます.
m=-1,1ののこの関数は次のようになります.
Y[1,-1](t,p) = sqrt(3/8pi) sin(t) exp(-i p)
Y[1, 1](t,p) = -sqrt(3/8pi) sin(t) exp( i p)
|Y|^2はYとその複素共役をかければよく,上の2つの式はいづれも同じY
(θ)=3/8π sin^2θ となります.なお,球面調和関数の複素共役は簡単に求
めることができ, (Y[l,m])^* = (-1)^m Y[l,-m] で与えられます.
つまり,mの符号を変え,さらにmが奇数の場合は全体の符号を変えます.
gnuplot> set parametric
dummy variable is t for curves, u/v for surfaces
gnuplot> set angle degree
gnuplot> set urange [0:360]
gnuplot> set vrange [0:360]
gnuplot> set isosample 18,18
gnuplot> set ticslevel 0
gnuplot> set size 0.65,1.0
gnuplot> a=3.0/(8*pi)
gnuplot> fx(u,v)=cos(u)*cos(v)
gnuplot> fy(u,v)=sin(u)*cos(v)
gnuplot> fz(v)=sin(v)
gnuplot> g(v)=cos(v)*cos(v)
gnuplot> splot a*g(v)*fx(u,v),a*g(v)*fy(u,v),a*g(v)*fz(v)
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左がY[11]を自乗したグラフで,z軸を主軸にしたトーラスとなります.但し
内側に穴はありません.関数はsin(θ)を含みますが,角度θをvで
表すとcos(v)になるので, g(v)=cos(v)*cos(v)と関数定義して
います.